留数定理（ZT）

在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

定理

假设${\displaystyle U}$是复平面上的一个单连通开子集，${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$是复平面上有限个点，${\displaystyle f}$是定义在${\displaystyle U\setminus {a_{1},\cdots ,a_{n}}}$的全纯函数。如果${\displaystyle \gamma }$是一条把${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个${\displaystyle a_{k}}$，并且其起点与终点重合，那么：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$

如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, a_k) = 1，因此：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$

在这里，Res(f, a_k)表示f在点a_k的留数，I(γ, a_k)表示γ关于点a_k的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点a_k的次数。如果γ依逆时针方向绕着a_k移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过a_k，卷绕数就是零。

例子

以下的积分

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}$

积分路径

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为：

${\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}$

由于e^itz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z² + 1为零时才具有奇点。由于z² + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z =i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于f(z)是

${\displaystyle {\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,\!}$	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\,\!}$
	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}{\frac {1}{z-i}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\,\!}$

f(z)在z = i的留数是：

${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.}$

根据留数定理，我们有：

${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}$

路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：

${\displaystyle \int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,}$

因此

${\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.}$

如果t > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：

${\displaystyle \int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\leq \int _{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^{2}+1}\right|\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^{2}+1|}\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{1 \over |z^{2}+1|}\,|dz|\leq \int _{\mbox{arc}}{1 \over a^{2}-1}\,|dz|={\frac {\pi a}{a^{2}-1}}\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .}$

因此，如果t > 0，那么：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}$

类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t < 0，则

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}$

因此我们有：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$

（如果t = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。）
   所以留数定理的关键是一个要形成闭环，另外一个是留数好算。留数的算法如下：
如果被积函数f(z)可以表示成P(z)/Q(z)，如果函数f(z)的奇点z0都是Q(z)的一阶零点，并且Q(z)没有其它零点，那么留数的计算公式就是：
Res(f,z0)=P(z0)/Q'(z0)。