尺规作图正多边形(ZT)

                 直尺、圆规和量角器可以画出任意正多边形。但是在古希腊时，作图只使用没有刻度的直尺（unmarked ruler）和圆规（compass）。用尺规作正偶边形如2 ⁿ ,3×2 ⁿ ,5×2 ⁿ等正多边形并非难事。但对正奇边形如3,5,7,9,11,13,15等的作图，在当时是件困难的事，而且并非全都可以作图成功。1798年，德国数学家高斯只有19岁，他成功的以圆规直尺做出一个正十七边形，并证明了正奇边形的边数只有是费马质数或不同的费马质数乘积才可以尺规作图出来（费马质数是质数且型如,k是非负正整数）。当高斯去世后，人们为了纪念这位伟大的数学家，在他的故乡(Brunschweig)的纪念碑上刻了这个正17边形。

k	0	1	2	3	4	5
	3	5	17	257	65537	4294967297(合数)

当k=0,1,2,3,4时都是质数，但一般猜测k＞4时，都不是质数。由于我们目前知道只有五个费马质数存在，所以用圆规可以做出的正奇边形是3,5 , 1 7,257,65537,以及这五个数的两两相乘积。如3×5,3×17,17×257等共31个。而最大的正奇边形的边数是4294967297。
边数小于100，可以尺规作图的正多边形如下：

3	4	5	6	8	10	12	15	16	17	20	24
30	32	34	40	48	51	60	64	68	80	85	96

正三边形和正六边形

取适当长为半径画圆，以同半径在圆周上取弧，再连续可取二个等弧，连接端点，可以连得正三边形。（下图，红色部分）。如果取三个等弧的中点，可以连成正六边形（下图，绿色部分）。

↑

正四边形和正八边形

取适当长为半径画圆，画二条互相垂直的直径，连接端点，可以连得正四边形（下图，紫色部分）。如果取四个等弧的中点，可以连成正八边形（下图，红色部分）。

↑

正五边形

1. 画一圆C。
2. 作直径AB。
3. 取BC中点D。
4. 过C点作AB的垂直线交圆C于P点。
5. 以D点为圆心，DP为半径画弧交AB于E点。
6. 以P点为圆心，PE为半径画弧交圆于一点。再连续可取四个等弧，连接端点，就可以做出正五边形。

　

　

　

说明：

如果圆半径是 r ，圆内接正五边形的边长是 a 。则 a ² =r ² +r ² -2 × r × r × cos72 ° =2r ² (1- )= r ² ，

因此a= r。
证明：CP= r，CD= ，因此PD= r。而CE= r，所以PE= × r = r 。

USB充电器原理（修理、改造常备）(ZT)

        USB充电器套件，又名MP3MP4充电器，输入AC160-240V，50/60Hz，额定输出：DC 5V，输出电流：250mA（标签贴纸为500mA，如果要长期输出更大电流，请更换Q1为13003）。

       图中用1欧的电阻F1起到保险丝的作用，用一个二极管D1完成整流作用。接通电源后，C1会有300V左右的直流电压，通过R2给Q1的基极提供电流，Q1的发射极有R1电流检测电阻R1，Q1基极得电后，会经过T1的（3、4）产生集电极电流，并同时在T1的（5、6）（1、2）上产生感应电压，这两个次级绝缘的圈数相同的线圈，其中T1（1、2）输出由D7整流、C5滤波后通过USB座给负载供电；其中T1（5、6）经D6整流、C2滤波后通过IC1（实为4.3V稳压管）、Q2组成取样比较电路，检测输出电压高低；其中T1（5、6）、C3、R4还组成Q1三极管的正反馈电路，让Q1工作在高频振荡，不停的给T1（3、4）开关供电。当负载变轻或者电源电压变高等任何原因导致输出电压升高时，T1（5、6）、IC1取样比较导致Q2导通，Q1基极电流减小，集电极电流减小，负载能力变小，从而导致输出电压降低；当输出电压降低后，Q2取样后又会截止，Q1的负载能力变强，输出电压又会升高；这样起到自动稳压作用。
      本电路虽然元件少，但是还设计有过流过载短路保护功能。当负载过载或者短路时，Q1的集电极电流大增，而Q1的发射极电阻R1会产生较高的压降，这个过载或者短路产生的高电压会经过R3让Q2饱和导通，从而让Q1截止停止输出防止过载损坏。因此，改变R1的大小，可以改变负载能力，如果要求输出电流小，例如只需要输出5V100MA，可以将R1阻值改大。当然，如果需要输出5V500MA的话，就需要将R1适当改小。注意：R1改小会增加烧坏Q1的可能性，如果需要大电流输出，建议更换13003、13007中大功率管。
       C4、R5、D5起什么作用呢？T1变压器是电感元件，Q1工作在开关状态，当Q1截止时，会在集电极感应出很高的电压，这个电压可能高达1000伏以上，这会使Q1击穿损坏，现在有了高速开关管D5，这个电压可以给C4充电，吸收这个高压，C4充电后可以立即通过R5放电，这样Q1不会因集电极的高电压击穿损坏了，因此，这三个元件如有开关或者损坏，Q1是非常危险的，分分秒秒都可能会损坏。

点评侯绍胜证明哥德巴赫猜想(ZT)

数论被誉为数学的王冠，而哥德巴赫猜想被认为王冠上的明珠。

　　我国数学家陈景润曾在哥德巴赫想的证明上取得最重要的成果。

　　此后关于哥德巴赫猜想的证明“捷报”频传。先是在2007年1月听说蒋春暄先生用十几行字就证明了哥德巴赫猜想，可惜由于国内某些人垄断了科学界的发言权，让他的成果失去了为国争光的机会。近来草根网连发三篇文章，说是安阳市外经委的一名退休干部侯绍胜先生证明了哥德巴赫猜想，因为王元等不愿意审阅，让侯绍胜先生的成果迟迟得不到世界的认可。稍稍百度了一下，还发现有浙江大学工学部化工系化工机械研究所谭善光老师在2011年用9页篇幅证明了哥德巴赫猜想，只是谭先生也不用谁审阅，直接把论文录入康奈尔大学官方网站论文库去了。

　　对于蒋春暄先生证明了哥德巴赫猜想一事，我曾写了一篇《关于哥德巴赫猜想的猜想》进行评论。

　　对于谭先生证明了哥德巴赫猜想一事，有人指出第二页就出了差错。

　　对于侯绍胜先生证明了哥德巴赫猜想一事，我有些怀疑，在草根网相关文章后的评论里表达了我的怀疑，因此引起某爱国博主的批评，并援引以下消息以增强批评的权威性：

　　【经过半年多的认真审阅，广东中山大学两位在数论方面颇有研究的老教授黎百恬、马麟浚日前给安阳市数学爱好者侯绍胜寄来一封亲笔签名的证明信，承认侯绍胜关于哥德巴赫猜想（即“1+1”）的证明是正确的，而且在他们所知的范围内，侯绍胜的研究成果“当属最高水平”。】

　　真有咱们中国人证明了哥德巴赫猜想，自然是天大的好事。可侯、谭、蒋诸先生的证明为什么没有得到国家权威部门和国际数学界的承认呢？数学证明是老老实实的东西，来不得半点虚假。尤其是向世界宣布证明了著名的哥德巴赫猜想，更容不得半点纰漏。因此，我不惜得罪侯绍胜先生及审阅人黎百恬、马麟浚教授，不惜得罪草根网中侯先生的支持者，就侯绍胜先生在草根网公开发表的内容作些点评。

　　一、关于证明猜想A的新思想（思路）

　　侯绍胜先生把哥德巴赫猜想A：任何一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和，（即“1+1”）称作猜想A。在其《证明哥德巴赫猜想的数学新思想》一文中，侯绍胜先生大肆渲染的证明猜想A的新思想（思路）竟然是所谓猜想A成立的充要条件定理

　　定理 2n=p（1）+p（2），（3≤n∈N，p（1），p（2）为奇素数），成立的充要条件是存在非负整数△，使n+△， n-△均为奇素数。

　　并给出了如下繁琐的“证明”

　　证明  猜想A用数学表达式表示就是2n=p（1）+p（2），（3≤n∈N，p（1），p（2）为奇素数）。

　　（1）当n是奇素数时，△=0，上述定理成立。

　　（2）当n不是奇素数时，证明如下：

　　充分性明显成立，故不证，下证必要性。

　　∵2n=p（1）+p（2），∴n={p（1）+p（2）}÷2.

　　∴p（2） －n=p（2）－{p（1）+p（2）}÷2= p（2）= {p（2）－p（1）}÷2. （这里不妨设p（2）＞p（1））。

　　∴n+{p（2）－p（1）}÷2=p（2）。                                                            （1）

　　又n －p（1）= {p（2）+p（1）}÷2－p（1）= {p（2）－p（1）}÷2,

　　∴n－{p（2）－p（1）}÷2=p （1）。

　　令 △={p（2）－p（1）}÷2，代入（1）、（2）得：

　　n－△=p（1）， n+△=p（2）。

　　证毕。

　　点评： 2n＝p（1）+p（2）等价于p（1），n，p（2）成等差数列；等价于n是p（1）与p（2）的等差中项；等价于△＝n-p（1）＝p（2）-n是等差数列p（1），n，p（2）的公差。这是高中数学的基本知识。从2n＝p（1）+p（2）得到n-p（1）＝p（2）-n更仅仅是简单的移项法则而已。侯先生教了20年数学，没教过中学？大概是被问题搞晕了头，多此一举，把问题搞复杂化了。

　　二、关于侯绍胜筛法

　　据介绍，2002年，侯绍胜和王顺庆发表了《奇合数的分解公式、素数的分布及一个新筛法》。

　　《奇合数的分解公式》证明了：个位数是1，3，7，9的任何一个合数仅仅是10个函数式的值。而且这10个函数公式已经具体化，这10个公式如下：

　　f（1）（x,y）=（10x+3）（10y+7），        f（2）（x,y）=（10x+9）（10y+9），

　　f（3）（x,y）=（10x+11）（10y+11）；      f（4）（x,y）=（10x+3）（10y+11），

　　f（5）（x,y）=（10x+7）（10y+9）；        f（6）（x,y）=（10x+3）（10y+9），

　　f（7）（x,y）=（10x+7）（10y+11），       f（8）（x,y）=（10x+3）（10y+3），

　　f（9）（x,y）=（10x+7）（10y+7），        f（10）（x,y）=（10x+9）（10y+11）。

　　其中x,y∈N,f（i）（x,y）简记为f（i），设F（i） =f（i）， i=1,2,…，10.

　　侯绍胜先生自诩上面的10个函数公式就是侯绍胜证明哥德巴赫猜想的突破口和主要理论基础。并且把用上述10个函数式来筛选素数的方法自称为 侯绍胜筛法，声称永远没有比侯绍胜筛法更简单更好的筛法了，侯绍胜筛法是在研究哥德巴赫猜想过程中产出的一个大金蛋，“可以毫不夸张地说”，侯绍胜筛法的确立，其意义不亚于哥德巴赫猜想的证明！

　　点评：

　　1）不是毫不夸张，而是实在太夸张。素数除了2之外都是奇数，奇素数除了5之外都形如10m+i（m为非负整数，i为1,3,7,9）。而形如10m+i（m为非负整数，i为1,3,7,9）的合数只会是两个形如10m+i（m为非负整数，i为1,3,7,9）的数乘积。因此，用形如10m+i（m为非负整数，i为1,3,7,9）的数去除形如10m+i（m为非负整数，i为1,3,7,9）的数是检验该数是素数还是合数的最容易想到的办法。

　　２）10个函数公式可简化为4个：

　　f（1）（x,y）＝（10x+3）y,

　　f（2）（x,y）＝（10x+7）y,

　　f（3）（x,y）＝（10x+9）y,

　　f（4）（x,y）＝（10x+11）y,

　　其中x为非负整数，y为不小于3的奇数。

　　三、关于证明哥德巴赫猜想的主要困难的四大问题

　　除了所谓猜想A成立的充要条件定理和侯绍胜筛法有祥细的介绍外，侯绍胜把证明哥德巴赫猜想的主要困难归纳为四大问题，即所谓四个基本问题。

　　第一个问题是有无穷多个n. 如果不能将无限多个n归纳成有限个类型，要对每一个具体的n都找到一个非负整数△，再证明n±Δ均为奇素数是不可能的！

　　点评：将无限多个n归纳成有限个类型，也不能对每一个具体的n去找到一个非负整数△，再证明n±Δ均为奇素数。因为这有限个类型中至少有一个类型的n仍然有无穷多个。

　　第二个问题是，因为均为奇素数，而且，是关于n为对称的两个素数，所以必须证明在区间内必有素数。这既是均为奇素数的必要条件，又是素数分布的一个基本问题。不证明这个问题，就是没有证明猜想A。

　　点评：

　　1）2n＝p（1）+p（2）（3≤n∈N），p（1），p（2）自然在区间[2,2n]内，且一个不大于n,一个不小于n。要证明或否定2n＝p（1）+p（2），（3≤n∈N，p（1），p（2）为奇素数），自然需要考虑区间内是否存在p（1），p（2），而不是证明在区间内必有素数。如果哪位先生找到某个具体的n ,在区间[3,n]或[n，2n]内不存在素数，那么恭喜发财，这位先生已否定了哥德巴赫猜想，大功告成！

　　2）奇素数的必要条件，一个似是而非的问题。谁也不会认为偶数会是奇素数，谁也不会认为形如10m+5（m为正整数）的数会是奇素数，除5之外的奇素数只会是形如10m+i（m为非负整数，i为1,3,7,9）。

　　第三个问题是，在证明均为奇素数之前，首先应该证明，在甚么情况下是复合数，在甚么情况下是素数。这个问题不解决要证明均为奇素数是不可能的。

　　点评：参考对侯绍胜筛法的点评及第二个问题的点评2）

　　第四个问题是，在解决了上述三大问题之后，如何证明均为奇素数。这是比上述三大问题更复杂的问题。上述四大问题，一个比一个更复杂。任何一个都是若干问题的集合。任何一个不解决都不能证明猜想。任何一个问题的解决都是实质性的进展。解决了全部问题就证明了“1＋1”。

　　点评：前三个问题圆满地解决了吗？解决了前三个问题又如何，第四个问题还不是回到了原来的起点？第四个问题解决了吗？

　　四、第四个问题解决了吗？

　　侯绍胜先生告诉我们：

　　270年以来，全世界的数学家都在说证明“1＋1”难、难、难。但是，难在何处？为什么难，几乎从来都没有说清楚。上述分析已经清楚的指出，证明“1＋1”，难，难就难在欲证明“1＋1” ，必须先回答上述数论的基本问题。在回答数论的基本问题之前，要证明“1＋1”是不可能的。研究“1＋1”的数学家，甚至是著名的数学家，或者不知道“1＋1”成立的充要条件，或者知道充要条件，但是却被充要条件提出的艰巨任务所吓退。于是试图在回避充要条件的情况下、另辟蹊径证明“1＋1”，如此说明他们不知道必要条件是不可违背（回避）的。这就是他们虽然已经“绞尽脑汁”，但是仍然不能证明“1＋1”的原因。270年的研究经验和结果同样告诉我们，要证明“1＋1”，必须解决充要条件提出的所有问题，如此就能证明“1＋1”，不如此，就不能证明 “1＋1”。

　　此外，就是李海年先生转告我们：

　　侯绍胜说，他带着上面的问题思考了24年，学习了24年，积累了24年。几万次的冲杀，几万次的失败。退却和坚持在大脑中交替出现。直到2000年3月20日那一天，上面谈到的那10个奇合数公式突然涌现在大脑里。思路像爆发的火山，再也没有阻挡物能够阻挡爆发的思路，只用了10个月，就基本完成了证明哥德巴赫猜想的初稿。

　　“想不到的是审阅过程竟然比我研究猜想的过程还要艰难！！！学阀、学霸不允许我发表有关哥德巴赫猜想的证明！”侯绍胜愤慨地说。

　　点评：呵呵，除了猜想A成立的充要条件定理和10个奇合数公式还有什么？猜想A成立的充要条件定理和10个奇合数公式有那么神奇？凭此，侯绍胜先生就自信地向世界宣布：他已经彻底证明了世界最著名的数学难题哥德巴赫猜想，是否过于轻率？他请求中国科学院组织多名专家审阅，并且给予答辩的机会。他请求首先审阅“侯绍胜筛法”及他“证明哥德巴赫猜想的数学新思想”。侯绍胜筛法及证明哥德巴赫猜想的数学新思想是他证明猜想的两大理论基础。请求无果便愤慨“学阀、学霸不允许我发表有关哥德巴赫猜想的证明！”侯绍胜先生现在还不是“学阀、学霸”吧，怎么对我提出的质疑不作回应？我这数学草根认为 “侯绍胜筛法”及“证明哥德巴赫猜想的数学新思想” 没有什么价值。没摆到草根网来的证明呢？我猜其价值如此而已。

Amos Yee, I support you.

I think Singapore is a country of free speech. Please don't disappoint me.

闻尚i1（1G+16G）刷4.2成功。

我3年前买的闻尚i1是1G+16G版本的，据说16G其实是主板上的一个T-flash插槽，这个倒挺好的，以后升级直接把16G卡换成64G或128G就行了。希望以后的手机都能这么支持硬件存储卡的升级。
这闻尚手机的初始系统是安卓4.0.X，安装游戏时经常出现不兼容的问题。最近要装一个magic touch的游戏，结果说只能支持安卓4.1及以上的机子。买办法，只好想办法升级一下了。
最终看中了一个乐蛙安卓4.2版的卡刷版固件。那个固件据说是针对1G+8G版的机型。但是卡刷版好像跟线刷版不一样。线刷版一般是要重新分区，可以救砖，而卡刷版一般不重新分区，所以我觉得1G+8G版应该也能适用1G+16G版，果不其然。
原来的闻尚i1系统本来就已经root过了，这倒挺好，省了一步工序。接下来是先安装移动叔叔工具箱http://pan.baidu.com/s/1pJDhRib，然后运行移动叔叔，安装第三方recovery工具，乐蛙recovery链接 http://pan.baidu.com/s/1pJLprWR。
然后就可以卡刷固件i1手机ROM链接地址 http://pan.baidu.com/s/1o6E5ISM。先关机再同时按住音量上键和开机键进入卡刷模式。十几秒钟就搞定重启进入一个崭新的乐蛙4.2系统了。
刷机前别忘了备份重要信息、照片和数据哦。

用Adb修复手机无限启动的问题。

     最近想在安卓系统手机上的google市场里安装或更新软件，老是出现“设备空间不足”，然后软件就装不下去了。网上一查，发觉是系统剩余空间太小，又感觉没有什么好删的。一个个查看系统文件夹，看到/data/dalvik-cache里文件比较多，据说都可以删掉的，但是一重启就又恢复了。
        根据我以前的经验，用ln把这文件夹链接到SD卡，是不是就可以了？于是大胆地在linux模式下（当然已经root过了）输入ln /sdcard/dc /data/dalvik-cache。然后重启，结果问题来了，手机处于无限重启的死循环。
        接下来怎么办？难道要重刷机子？不行，一个太麻烦，另一个我有很多珍贵的数据、游戏存档和照片存在了手机里，一重刷就什么都没了。难道就只有这一条路了吗？又是在网上找，终于发现现在还有adb这种工具。当然前提条件是手机能通过USB线连到电脑上。而无限重启的bootload状态是连不上的。于是就又试了recovery模式，结果输入adb devices，adb root都好的，等到输入adb remount时，出现“remount failed: success”的输出结果。这句英语没搞懂，又是failed又是success的，究竟是fail还是success？昨晚又试了在工程或工厂模式下输入adb指令，结果在adb remount下卡住了。实在搞不出来，只好作罢，上床睡觉。
       今天下午，冒着侥幸的心理想再试一遍，先进入recovery模式，输入adb指令，问题如出一辙。然后又进入工厂模式，输入adb指令，这次倒顺风顺水，都通过了。输入adb shell，这样就进入我顺手的各种linux command，把建立链接的/data/dalvik-cache删除，又重建目录dalvik-cache。搞定。
        现在饶了一圈，手机是可以正常使用了，但是“设备空间不足”的问题仍然存在。我想，手机无限重启是因为刚开机时手机是不会装载SD卡的，所以ln链接就失效。如果我把/data/dalvik-cache链接到内置存储卡，是不是就可以了呢？
        欲知后事如何，请听下回分解。

学校不同于工作世界的10个方面

今天是开学的第一天,或者父母们喜欢这样称呼它, “今年最精彩的一天!” 当我第一次送我可爱的一年级宝宝进入这所大学校时,我希望他老师的工作不仅是为他准备好做作业，而更是为他的职业生涯有所准备(在非常遥远的未来!)。

　　但是再一次我发现,在许多方面来说，甚至是最好的学校也永远不能为你充分准备你的谋生工作。关于雇主如何想的与学校所想的相比，这里有一些关键的差异。

　　1.如果你不能做这个工作,你被淘汰了。在学校，他们会引入专家帮助你,并且家长围绕在你的周围与你一起努力将成绩提高。一些坏的父母(是的,我就是这么说) 简单地要求学校来改变你的成绩,这样他们的小宝贝就不会遭受任何后续的影响。但在工作场所,我们只是解雇你了。有时我们会给你一个90天的能力改进计划,但仅此而已。

　　2.我们按着曲线评级。也就是说,我们限制工作的人--相当于得A的人--的数量，有时你会是一个很棒的工人,但是你的评价仍然很低,因为你不像你的同事出色。对于晋升,只有一个人可以得到,所以,你会被与你的同事比较。它不仅仅是擅长你所做的--而是要比所有人做得更好。

　　3.我们的多样性远远超过学校。共同核心?哈!不同的企业提供的都非常不同，每个人都有所合适的工作。所有的公司都必须遵守联邦、州和地方法律,但也就是如此了。如果你是一个夜猫子,有一份工作给你。如果你是一个早起的人，也有一份你的工作。如果你有创造力,我们就有机会。如果你没有创新,我们也有机会留给你。对每个人都有一些除了……

　　4.我们讨厌懒鬼。如果你是一个懒鬼,而且不想改正,你最好是一个天才。否则,我们没有一个适合你的位置。在学校里,你可以找到老师，他会打电话给你的父母并召开会议,制定计划来帮助你不做一个懒鬼。在你离开学校之前就不要再想那些了,因为我们不是那么友好。

　　5.你必须争取认可。在完美的世界里,我们会仔细评估每个人并在你理应得到时，给你提供晋升和新的机会。在现实中,每个人都很忙,而且很多人想做很多不同的事情。如果有一条路你想走下去,从专业上说,说出来吧。

　　6.我们真的,真的,真的希望你能够书写规范。老师们,请优先考虑写作吧。我知道你是这样,--扔掉红色铅笔和对勾吧。(现在我刚刚把暴露自己在愤怒评论之下，你们指出了我的书写错误。我罪有应得。)

　　7.我们真的,真的,真的希望你能够做好算数。我们说做数学,不是指三角学。我们需要你了解数字工作和数学背后的逻辑。是的,没有做欧几里德几何学，你可以走完你的整个职业生涯,这是可能的,但不能够逻辑地思考而进入一个好的职业生涯，这是极不可能的。许多不需要“数学”的工作需要你逻辑地思考。而数学可以帮助你。

　　8.我们真的,真的,真的希望你能做数学之二。我们需要那些可以懂得高等数学的人。我们需要工程师和计算机程序员以及统计员。作为一个更大的附加,如果你可以搞好数学和写好,实际上你可以编写自己的车票。

　　9.我们不关心你的自尊。对不起。我们关心的是业务的成功。不论这是错误的还是正确的,你不能指望管理者关心你的感受。我们关心的是你的最终结果。

　　10.如果你不能为我们赚钱,我们不会雇佣你。我们不会为了给人机会而雇佣。我们不为了培训而雇佣,虽然我们有时会雇佣实习生。我们雇佣人,因为我们想赚更多的钱。如果你能解释你如何使业务赚的更多的钱,我们就有兴趣雇佣你。(省钱也属于这一类,因为一些任务就用不到钱,但是需要法律或商业原因)。

泊松方程的解法

泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。是从法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。 泊松方程为

在这里 Δ 代表的是拉普拉斯算子，而 f 和 φ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。 当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为 ，因此泊松方程通常写成

在三维直角坐标系，可以写成

如果没有f， 这个方程就会变成拉普拉斯方程

另外

在数学以及物理中， 拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator 或 Laplacian）是一个微分算子，通常写成 Δ 或 ；这是为了纪念皮埃尔-西蒙·拉普拉斯而命名的。

拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。

在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。

在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。

在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。

[编辑] 定义

拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（）的散度（）。因此如果 f 是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：

    (1)

f 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：

    (2)

作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把 Ck 函数映射到 Ck-2 函数，对于k ≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ : Ck(Rn) → Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ : Ck(Ω) → Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：

坐标表示式

二维空间

其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标

另外极坐标的表示法为：

三维空间

笛卡儿坐标系下的表示法

圆柱坐标系下的表示法

球坐标系下的表示法

如何保持精力旺盛

1. 晨练5分钟 起床后锻炼5分钟，不仅为身体充电，而且能加倍燃烧卡路里。很多人误认为晨练必须5点钟爬起来跑上几公里，其实是不必要，也不太现实的。你只消花5分钟，做做俯卧撑和跳跃运动，使心率加快，就能达到理想的效果；要么对着镜子冲拳100下，感受那种能量积蓄的过程。

2.站起来接电话 站着打电话借机舒展舒展筋骨，一边深呼吸，使富含氧气的血液流进大脑。这个简单的变化能让你几个小时都精两倍旺。

3.边沐浴边唱歌 淋浴时大声唱歌促进身体释放内啡呔，从而产生一种快乐与幸福的感觉，减轻压力。你越是心情不好的时候，越要唱出来，至于好不好听，跑没跑调，你管它呢！

4.养成喝水习惯 处于缺水状态的你，会时常感觉衰惫。清早起来先喝一杯水，做一下内清洁，也为五脏六腑加些“润滑剂”；每天至少喝进去一升水，不过也不是多多益善。

5. 讲究吃早餐 美国有研究发现，不吃早餐的人身高体重比(BMI)偏高，也就是体重超标，还爱犯困，做事无精打采；讲究吃早餐的人则精力充沛得多，身形也相对匀称。最营养健康的西式早餐是：两片全麦面包。一块熏三文鱼和一个西红柿。全麦面包含有丰富的碳水化合物和纤维；西红柿的番茄红素有利于骨骼的生长和保健，并且对前列腺疾病的预防很有好处；三文鱼中丰富的omega-3脂肪酸和蛋白质对身体更加有益。

6.十点加餐 即使早餐吃得不错，到上午十点半，前一天储存的糖原也差不多用没了。你要想在一天剩下的时间仍像刚充完电，这时就必须加加餐。一块巧克力，或者一根能量棒。几块饼干，补充能量以外，还能有效避免午餐暴饮暴食。

7.午后喝咖啡 午餐后，身体的睡眠因子(一种能引发睡眠的分子)成分增多，是最容易犯困的时候，此时喝一小杯咖啡效果最好。当然喝茶也行，随你喜欢！别忘了睡前4小时内不要喝咖啡，免得过于兴奋睡不着。

8. 多倾诉多纾解 性格也能调节疲惫。荷兰的一项研究表明，在工作中内向。害羞的人更容易觉得累，而外向的人精力更足，这是因为爱跟人交谈的人善于发现乐趣，把自己的烦恼。压力及倒霉事一股脑说出来，就不会觉得累和无聊，相反地，喜欢安静。独处。不爱社交的人缺乏这种纾解压力的渠道，时间长了，必然感觉不堪重负。

9.坐有坐相 坐姿不良，走路踢里踏拉，耸肩腆肚，这些通常是你能量已耗干的表现。在办公室一坐就是七八个小时，如果不能保持正确的姿势，反而会觉得更疲劳。不管是站还是坐着，应当收腹立腰，放松双肩，脖子有稍稍伸展的感觉。

10.张驰结合 工作中碰到难题，一时半会儿又没法解决，不如稍事休息，如去倒杯茶，换换脑筋，然后接着干。累得快透不过气来时，深吸一口气(数3下)，然后呼出来(数6下)；或者翻翻体育杂志，上网浏览娱乐八卦，找谁聊几句，说不定灵感在不经意间就来了。

11.交乐观的朋友 乐观、精力旺的朋友或同事人见人爱，他们积极的情绪总能感染周围的人。不仅要和聪明有才华的人交往，更要和那些充满热情，积极向上的人交朋友；跟一个悲观、喜欢抱怨的人一起呆上30分钟，你的能量就会被间接耗尽

12.大事化小 一口气吃不成胖子！不要总想着把某项大工程一气做完，结果自己累得趴下了。不妨把大工程拆成若干个小工程，一样一样地做，时不时休息一下，这样，既保持体力，又能提高工作效率，最终还能加快工作进度。

13.锻炼背部 “背多分”型的男人往往受到殊遇，不仅如此，强壮的背部能让你工作起来比别人更轻松，不觉得太累。锻炼背部最有效的方法是用划桨器，注意姿势要正确；脚放平，膝盖微曲，双桨恰到好处地停在胸部。

14.打坐 早晨睡眼惺松，先不忙爬起来，舒舒服服地坐在床上坐着，挺直后背，闭上双眼，快速地用鼻子呼气和吸气，嘴巴微闭。(这个胸部练习应当像拉风箱一样，快速而机械地进行)

15.每天运动 哪怕你再忙，也要坚持锻炼，或跑步或键步走或游泳。

16.午睡20分钟 20分钟左右的小憩是最理想的，它其实跟午睡一小时的作用没什么两样。一个小时对大多数人来说有点长了，睡得太沉，晚上可能睡不好。

17.补铁 如果你体内铁的储存太低，身体就不能制造血液中运载氧气的血红蛋白，人就容易觉得累。最好的补铁办法是通过饮食，采用食物疗法：含铁质丰富发热有动物肝脏。肾脏；其次是瘦肉。蛋黄。鸡。鱼。虾和豆类。

18.开车多吃纤维食物 男人很少吃零食，你可以在车里放些花生和葡萄干，这些东西含有大量的钾，你的身体需要钾将血液中的糖转化为能量；坚果也不错，它富含碳酸镁，缺乏碳酸镁会使身体产生大量乳酸，而乳酸易使人产生疲劳感。

19.芳香疗法 放些香料在家里，尤其是迷迭香。薄荷和姜，可以提神醒脑，增强记忆力，并且能治疗头痛偏头痛。

20.多看喜剧 笑一笑，十年少。笑能锻炼面部肌肉，改变你的面部循环，从而提高注意力。英国科学家近日公布的研究表明，尽管快乐不像俗语形容的那样能挽留青春，但每天保持愉悦心情的人确实更健康，罹患心血管病。糖尿病的风险更低。

21.提前1小时上床 多睡60分钟的提神功效等于喝两杯咖啡。这是指你每天早睡一小时，而不是周末拼命睡懒觉。否则生物钟被打乱，总感觉晕乎乎的。

22.和阳光玩游戏 美国马萨诸塞大学的研究表明，愤怒和敌对的情绪在冬天比较多，而夏天比较少。晒太阳能提高大脑血清素的含量，改善心情，为身体充电。不妨争取一切能晒太阳的出差或旅行机会。

23.控制酒量 酒精让你产生蒙蒙睡意，但是睡前喝酒反而会因兴奋影响睡眠，虽然闭着眼，眼球却在不停地转。你得牢记睡前两小时不喝酒，晚餐啤酒最多只喝一两杯。

24.调整健身时间 一项研究发现，那些健身族下班后去健身，浑身酸酸地，回家洗个澡睡个好觉，起来后犹如获得新生，无独有偶，美国芝加哥大学的学者认为，晚上锻炼能增加睾丸素的水平，这对能量的新陈代谢至关重要。

25.睡沙发 假如你和爱人吵架，你不得不睡沙发，你不用内疚或怎么样。知道吗，偶尔睡睡沙发对治疗失眠有奇效！很多人都说失眠跟自家的卧室有关，美国的一项调查发现，72%的男人在沙发上睡得不错，只有27%的人说在老婆或女友身边睡的还可以。

(转)为什么你一直没有成就？

为什么你一直没有成就？因为你随波逐流，近墨者黑、不思上进，分钱没有、死爱面子！因为你畏惧你的父母、你听信你亲戚、你没有主张、你不敢一个人做决定。
你观念传统、只想打工赚点钱结婚生子，然后生老病死、走你父母一模一样的路。因为你天生脆弱、脑筋迟钝只想做按班就部的工作。因为你想做无本的生意，你想坐在家里等天上掉陷饼！因为你抱怨没有机遇、机遇来到你身边的时候你又抓不住，因为你不会抓！因为你的贫穷，所以你自卑！你退缩了、你什么都不敢做！你只会给别人打工！你没有特别技能，你只有使蛮力！你和你父母一样，恶性循环！

很多人想把握机会、但要做一件事情时，往往给自己找了很多理由让自己一直处于矛盾之中！不断浪费时间，虚度时光。如：
1 、我没有口才——错：没有人天生就很会说话，台上的演讲大师也不是一下子就能出口成章，那是他们背后演练了无数次的结果！你骂人的时候很擅长、抱怨的时候也很擅长、但这种口才是没有价值的口才，看别人争论的时候、自己满嘴评头论足、却不知反省自己，倘若你付出努力练习，你今天是否还说自己没口才？

2 、我没有钱—— 错： 不是没有钱，而是没有赚钱的脑袋。工作几年了没有钱么？有、但是花掉了。花在没有投资回报的事情上面。花在吃喝玩乐上、或存放贬值了，没有实现价值最大化、所以钱就这样入不敷出。每月当月光族、周而复始、没有远虑、当一天和尚敲一天钟，得过且过。

3 、我没有能力——错： 不给自己机会去锻炼，又有谁一出生就有能力？一毕业就是社会精英？一创业就马上成功？当别人很努力的学习、很努力的积累、努力找方法，而你每天就只做了很少一点就觉得乏味。学了一些就觉得没意思、看了几页书就不想看、跟自己也跟别人说没兴趣学。然后大半辈子过去一事无成，整天抱怨上天不给机会。能力是努力修来的、不努力想有能力，天才都会成蠢材。但努力，再笨的人也能成精英。

4 、我没有时间——错：时间很多、但浪费的也很多！别人很充实、你在看电视，别人在努力学习时、你在玩游戏消遣虚度。总之时间就是觉得很多余、你过得越来越无聊。别人赚钱了羡慕别人、但不去学别人好好把握时间创造价值，整天不学无术。

5 、我没有心情——错：心情好的时候去游玩、心情不好的时候在家喝闷酒，心情好的时候去逛街、心情不好的时候玩游戏，心情好的时候去享受、心情不好的时候就睡大觉。好坏心情都一样，反正就是不做正事。

6 、我没有兴趣——错：兴趣是什么？吃喝玩乐谁都有兴趣，没有成就哪来的尽兴！没钱拿什么享受生活！你的兴趣是什么？是出去旅游回来月光族、出去K歌回头钱包空空、出去大量购物回来惨兮兮.... 打工有没有兴趣？挤公交车有没有兴趣？上班签到下班打卡有没有兴趣？家里急需要一大笔钱拿不出来有没有兴趣？借了钱没钱还有没有兴趣？卖老鼠药的人对老鼠药有兴趣.....？

7 、我考虑考虑——错：考虑做吧有可能就成了、不做吧好不甘心！一想整天上班也没有个头、还是明天开始做吧！又一想还是算了、这钱挣的也不容易！不不、就是打工挣钱也不容易，决定了不能放弃机会！ 哎呀、天都黑了，明天再说吧！然后第二天又因为以上12345点、因为左思右想、继续循环、最终不能决定。犹犹豫豫、耽误了很多时间、还是一无所获。

有句话是：“可怜之人必有可恨之处！” 这一生中不是没有机遇，而是没有争取与把握！借口太多，理由太多....！争取之人必竭力争取、一分钱都没有也千方百计想办法！不争取之人给一百万也动不起来、发财不了、还有可能一败涂地。这就是行动力的欠缺！喜欢犹豫不决、喜欢拖延、喜欢半途而废、最后一辈子平庸、碌碌无为！还有的人、做事三分钟热度，一开始热情高涨、等会就继续懒散，这种人成功的帽子也不会在你的头上。 看看为什么别人身价几个亿，你自己还在为钱奔波！不要羡慕别人命好，别人很困难的时候是怎么坚挺过来的，怎么克服困难、突破自己、改变命运的，你没看到罢了！你看到的只是他成功后的光环！所以你抱怨嫉妒羡慕恨！ 人、活着就要有一身价值.....