尺规作图正多边形(ZT)

                 直尺、圆规和量角器可以画出任意正多边形。但是在古希腊时，作图只使用没有刻度的直尺（unmarked ruler）和圆规（compass）。用尺规作正偶边形如2 ⁿ ,3×2 ⁿ ,5×2 ⁿ等正多边形并非难事。但对正奇边形如3,5,7,9,11,13,15等的作图，在当时是件困难的事，而且并非全都可以作图成功。1798年，德国数学家高斯只有19岁，他成功的以圆规直尺做出一个正十七边形，并证明了正奇边形的边数只有是费马质数或不同的费马质数乘积才可以尺规作图出来（费马质数是质数且型如,k是非负正整数）。当高斯去世后，人们为了纪念这位伟大的数学家，在他的故乡(Brunschweig)的纪念碑上刻了这个正17边形。

k	0	1	2	3	4	5
	3	5	17	257	65537	4294967297(合数)

当k=0,1,2,3,4时都是质数，但一般猜测k＞4时，都不是质数。由于我们目前知道只有五个费马质数存在，所以用圆规可以做出的正奇边形是3,5 , 1 7,257,65537,以及这五个数的两两相乘积。如3×5,3×17,17×257等共31个。而最大的正奇边形的边数是4294967297。
边数小于100，可以尺规作图的正多边形如下：

3	4	5	6	8	10	12	15	16	17	20	24
30	32	34	40	48	51	60	64	68	80	85	96

正三边形和正六边形

取适当长为半径画圆，以同半径在圆周上取弧，再连续可取二个等弧，连接端点，可以连得正三边形。（下图，红色部分）。如果取三个等弧的中点，可以连成正六边形（下图，绿色部分）。

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正四边形和正八边形

取适当长为半径画圆，画二条互相垂直的直径，连接端点，可以连得正四边形（下图，紫色部分）。如果取四个等弧的中点，可以连成正八边形（下图，红色部分）。

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正五边形

1. 画一圆C。
2. 作直径AB。
3. 取BC中点D。
4. 过C点作AB的垂直线交圆C于P点。
5. 以D点为圆心，DP为半径画弧交AB于E点。
6. 以P点为圆心，PE为半径画弧交圆于一点。再连续可取四个等弧，连接端点，就可以做出正五边形。

　

　

　

说明：

如果圆半径是 r ，圆内接正五边形的边长是 a 。则 a ² =r ² +r ² -2 × r × r × cos72 ° =2r ² (1- )= r ² ，

因此a= r。
证明：CP= r，CD= ，因此PD= r。而CE= r，所以PE= × r = r 。