欧拉的成名之作

    在十七世纪以前，有一个长期存在的数学问题，那就是由正整数倒数的整数幂所组成的无穷级数的求和问题。也就是说，对p=1,2,3，...，求
                 
的值。当p=2时，这个求和问题令所有试图求出它的数学家大伤脑筋，其中包括沃利斯和伯努利。莱布尼茨在巴黎作为一名学生在惠更斯的指导下学习时，就宣称对任何收敛的无穷级数，只要其中各项遵循着某种规律，他都能求出和来。但当莱布尼茨在1673年遇到英国数学家佩尔时，佩尔用S2一下子就把这个血气方刚的年轻人弄得灰头土脸。在1734年，欧拉突然解决了这个问题，以一种十分巧妙的方式。
    根据exp(y)的幂级数的泰勒展开，我们可以得到：

     如果你令y=ix，那么

     然后分别将实部和虚部并项，我们得到

     因为

     所以

    然后，欧拉写下了这个无穷次多项式方程：
   并注意到它的根出现在sin(sqrt(y))=0的时候，除了y=0。当y=0时，sin(sqrt(y))/sqrt(y)=1。所以y=pi^2, 4*pi^2, 9*pi^2,...。
   对于一般形式的方程，

   如果它的n个根是r1, r2, ..., rn，那么f(x)可以写成

   那么a1就可以写成

   也就是

即

正是这个欧拉在他圣彼得堡职业生涯早期所做的计算，给他刻上了超级明星的标记，这对他确立他那显赫的名声有着很大的关系。
    然而，对于p为奇数的情况，这个方法不起作用，而且这些和至今仍不得而知。现在如果谁能解出S3，那他就是现代数学界的超级明星了。中国的民科们值得一试，:-)