菲涅尔积分的计算

菲涅尔积分是指


最早给出其计算结果的是天才数学家欧拉。
欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日－1783年9月18日）是一位瑞士数学家和物理学家，他一生大部分时间在俄国和普鲁士度过。
要解菲涅尔积分，得从欧拉的另一个创造入手。这个创造如今被称为伽马函数。它的定义是

对于n=1，通过直接积分，可以得到

采用分部积分法，可以证明

因此，对于n为正整数的情况，我们可以得到

从这个公式中还可以得到0!=1。下面来求非整数的伽马函数，比如n=1/2时，我们有


对以上公式，我们先进行一下变量代换x=t^2，那么dx=2tdt，从而
                           (1)
其中，

对I的求解用到了一个很巧妙的坐标变换的办法。先对I平方，可得

我们让,相应的面积积分现在成为,所以

因为

所以

由公式（1），可得

欧拉接下来一步伟大的跳跃是通过变量代换把伽马函数扩展到复数值。为此他定义

其中p和q都是正实数常数。结果得到

于是我们得到

欧拉接着把p+iq写成极式，即

其中，

于是

最后，利用欧拉恒等式将等式左右边展开成实部和虚部，并令实部和虚部分别相等，我们有


现在，令n=1/2，p=0和q=1，可得r=1和，那么


因此
                      （2）
如果对菲涅尔积分I1和I2作变量代换x=s^2，可得

所以根据公式（2），最终得到

如果没有复数的帮助，估计永远都解不出菲涅尔积分公式。欧拉真是个天才！