人体科学知识

人体的细胞数量大约有60万亿。
每个细胞的尺寸大约3微米。
脑重大概1.5公斤。
身体其它部位的细胞都具有可再生性，而神经元却是个例外。一个人在出生时所拥有的神经元将会伴随他的一生。而且，从30岁开始，这些神经元还会以每天10万～20万个的速度死亡。因此，为了减缓神经元的死亡速度，请勤于动脑吧！
大脑皮层大约有140亿个神经元。
我们走路、跑步的时候不用进行思考，就是因为大脑基底节的存在及作用。
大脑边缘叶控制情感宣泄及本能反应。其中有一个部位称为“海马”，它负责记忆最近发生的一切活动。
在所有生物中，只有哺乳动物拥有左、右两个大脑半球。而且，只有人类存在功能上的差异。
经常使用左脑的人，为了增加自己的创造力及灵感，可以尽量多地使用左手，如用左手刷牙、开锁等，因为这样能够激发右脑的活力。
小脑重量仅为脑部总重量的10%，但是却集中着半数以上的脑神经细胞（神经元）。
脑干的重量约为200克，形状及大小都与我们的拇指非常相似。脑干被称为“生命的中枢”，因为此处聚集着呼吸、心脏跳动、体温调节等一切与生命活动相关的神经。因为脑干的存在，即使在睡觉时，我们的心脏也会正常跳动，体温也会维持正常。此外，脑干还负责调节大脑皮层中的神经细胞，帮助我们设置属于自己的生物钟。
如果指甲表明不够光滑，出现一条条的竖纹，就表示体内存在着慢性疾病，或者说肌体已经开始老化。
肾脏负责滤过并排出血液中的代谢产物，因此，一旦出现肾炎等肾脏疾病，血液中的代谢产物就会增加，血流量随之减缓，最终导致血压升高。
低血压： <100 mmhg="" p="">正常血压： <139 mmhg="" p="">临界高血压： 140～159/90～94 mmHg
高血压： >160/95 mmHg
肾的大小与我们的拳头差不多。
我们的身体中有23块颅骨、32块椎骨、1块胸骨、24块肋骨（12对），64块上肢骨和62块下肢骨（31对），合起来一共206块。
通过X光分析一个人的骨骼，就可以得知他的年龄，这种方法经常在法医界使用。
无论男性还是女性，一旦到了35岁，骨的重量就会急剧下降。骨质疏松的主要原因是骨中钙含量不足。由于维生素D可以起到活化成骨细胞的作用，因此晒太阳和运动是增加骨中钙含量的最好方式。

半导体工艺中的BCD技术（Bipolar+CMOS+DMOS)

       电子产品厂商们一直在挑战电池的化学特性以及空间缩小的极限，然而我们半导体人的贡献就在于给电源配一个电源管家(PMIC: Power Management IC)，来给各个components提供电源。然而这些电源管家自己也需要消耗电源(Conduction loss and Switch loss)，所以PMIC芯片就是要降低这些自身消耗的能量，当然这些说起来容易做起来难(It's easier said than done)。

先来讲讲什么叫电源管理芯片(PMIC: Power Management IC)，它是介于主芯片(如AP、Baseband等)与电源之间的芯片，主要用于给主芯片提供稳定的电源，也叫作Voltage Regulator，它的主要作用是不管外界电压变化、电流变化，甚至温度变化多么恶劣，他都需要持续稳定的输出一个指定电压(constant voltage)给主芯片工作，当然主芯片的工作电压都不一样，有些比电源电压高，有些比电源电压低，所以这些PMIC芯片需要根据需要实现升压(Step-up)或者降压(Step-down)。当然PMIC芯片除了给主芯片供电外，他还要承担的责任是电流控制(限流)、端口保护、充电保护等等，以防止损坏主芯片或者避免火灾等。

PowerIC要处理的信号很多，主要分为模拟信号处理、数字信号处理、以及高压处理，而这三个部分如果要做到精确必须分别依赖BJT、CMOS、和LDMOS，所以需要一种process把这三者集成在一起，于是就诞生了BCD工艺(Bipolar+CMOS+DMOS)。广义上讲，BCD也是一种SOC (System on Chip)。当然你也可以单独做BJT、CMOS和DMOS，然后把它们组合在一起实现各自功能，但是这样会让面积变大并且增加了BOM (Bill-of-Material) cost。但是合起来一起做挑战的就是FAB了，传统的Technology要么做CMOS、要么做BJT、要么做DMOS，这本来就是三种technology，各自都有其制程特殊性，现在要三合一成一种technology，其复杂度自然就是三倍了，这就是为什么FAB的BCD technology很难develop或者很难sustain了。这也是为什么BCD的technology总是最后一个shrink的原因，目前最cutting-edge的node也只有0.13um，而主流的mobile PMIC还是在0.18um。

从Marketing和Demand来讲，最近这几年PMIC非常火热的驱动力主要来自Smartphones、Tablet等消费类(2015年有10亿只Smartphone和一个亿的tablet)。每个手机的components都需要一个PMIC，比如AP处理器，Baseband处理器，Display Driver，Charger等等，所以可想而知PMIC的市场该有多大？根据IHS Research预计，2016年PMIC的shipping量(包括Converter, Controller, Voltage regulator, Battery management等)大约是35billion USD，到2019年会上升到40billion USD，主要的region依然是中国和美国。而Technavio's market research预估到2020年全世界BCD技术的年复合增长率会达到7%以上。

从厂商来讲，BCD技术主要起源于1980年代，但是由于制程过于复杂(niche technologies)，所以这种技术早期只有IDMs(Integrated-Device-Manufacturer)可以提供，比如主流的TI、ST、Infineon，还有其他如Renesas, NXP, Mitsubishi, Maxim Integrated, and ON Semiconductor等，随着Foundry技术能力的提升，主要的Vendor有TSMC和Global Foundry，还有Allegro MicroSystems、Jazz Semiconductor、Magnachip、Tower Jazz以及United Microelectronics。

好了，扯了一大堆没用的，还是来点技术干货吧！

我们知道在Power Management的前身是Power IC，所以重点在于“Management”。早期的Power IC功能比较单一，只能实现控制、转换功能(比如AC-DC, DC-DC等)，而到了Power Management IC时代，则需要增加Multi-channel DC-DC或LDO，而且增加DSP以及eNVM等功能，所以更进一步变成smart power。

先讲讲BCD里面的BJT吧，它主要用来做Analog处理，记住不是power哦，power是靠DMOS的。为什么要用BJT呢？主要是利用它的精准的Bandgap Vref。记得以前拉扎维的模电教材有一个经典的叫做带隙基准，其实他就是Bandgap。它主要的原理就是可以实现一个与温度无关的电压(NPN的Vbe是负温度系数，而BJT的等效热电压Vt=kT/e是正温度系数，这样就可以相互抵消从而实现温度无关的基准电压)，用这个电压作为模拟电路的参考电压来提高精准度。所以一般BCD里面Bipolar特别重要的是NPN管。但是有一点要记住，如果BJT的Hfe太小则表示Ib比较大，那么Vbe的温度系数会发生变化，所以这个基准电压也会发生变化的。

      其次是CMOS，主要是做数字信号处理，就是一般的Logic部分，当然也有一部分CMOS可以用来做Analog信号处理，那么它和digital就不一样了，主要的concern是Noise。而这个Noise一般来自于两个，一个是相邻周边器件或导线电荷干扰，另一种则是来自于器件本身的Flicker噪声，而前者只能靠隔离(Trench or Deep-Well)后者需要Trap或Gettering来实现。现在主流的Sensor有很多微弱的信号处理都是需要CMOS的Analog应用，所以low-noise将会是重要的指标之一。比较经典的CMOS在analog应用就是差分放大器和镜像电流源。

当然CMOS除了Analog应用之外，还有就是RF的应用。

        最后是DMOS，当然DMOS包含VDMOS和LDMOS，而BCD里面用到的肯定是LDMOS，因为他要与CMOS集成就无法在背面引电极了。这也是BCD能够处理Power的核心，而对他的要求就是Breakdown Voltage和Rdson，既能抗压也能减小conduction loss和Switch loss。而conduction loss主要来自导通电阻Rdson，而switch loss主要来自于Gate Capacitance (Qg)与Rdson的乘积。当Vg加在Gate上准备开启的时候，因为Gate与Drain、Source之间总会有电容的，而这个电容需要充电时间然后才能通过耦合开启器件，而这个充电时间就是RC-delay咯，所以如果要减小Switch Loss就必须减小栅极电阻以及降低Gate与Source/Drain的电容。一般情况下在一个Power模块中，High-side比较care的是Qg，而Low side一般care的是Ron。

BCD技术的挑战是什么？

1、温度：传统的Logic和analog我们认为几十度(85C)应该足够了，但是BCD因为有了DMOS它的温度一下子就上去了，所以它的reliability评估必须cover高温特性，比如125C~150C。

2、封装：传统的封装都是wire bond或者gold bond，需要基板和molding compound，但是这种封装方式最大的问题就是散热差，你想想你给BCD的芯片裹了那么多层被子，还不得捂死它啊？所以到了BCD时代必须采用CSP(Chip-Scale-Package)封装，这种封装方式的尺寸基本和Die Size相当，后来发展到Wafer-Level CSP，再后来到RDL+Flip Chip封装。(后面再专题学习封装吧~)

BCD技术的发展前景一定是以SOI+BCD为主流，主打低功耗低漏电，不管是在switch还是在功率放大领域。

产品生命周期理论(product life cycle model)

    雷蒙德·弗农于1968年在他的《产品周期中的国际贸易》一文中首次提出了产品周期理论,由此解释了国际贸易产生的原因.他认为商品与生命相似,有一个从出生,成熟,衰老的过程,弗农把产品的生命周期划分为三个阶段,新产品阶段,成熟产品阶段和标准产品阶段

1、新产品创始阶段

　　这一阶段中,国内市场容量大,开发研究资金多的国家在开发新产品,采用新技术方面居于优势.厂商掌握技术秘密,将新技术首次用于生产。此时对厂商来说,最安全最有利的选择是在国内进行生产,产品主要供应国内市场,通过出口贸易的形式满足国际市场的需求。

2、产品成熟阶段

　　在这一阶段中，新技术日趋成熟，产品基本定型。随着国际市场需求量的日益扩大，产品的价格弹性加大,降低产品成本尤为迫切。由于国外劳动力成本低于国内劳动力成本,国内生产的边际成本加上边际运输成本大于国外生产的成本,所以把生产基地由国内转移到国外更为有利。另外,由于产品出口量的急剧增加,厂商原来拥有的垄断技术也逐渐被国外竞争者掌握,仿制品开始出现,厂商面临着丧失垄断技术优势的危险。为了避开贸易壁垒,接近消费者市场和减少运输费用,厂商便要发 展对外直接投资,在国外建立分公司,转让成熟技术。一般来讲,厂商总要先到技术水平较接近,劳动力素质较好,人均收入水平较高并与本国需求类型相似的国家 或地区建立分公司,就地生产,就地销售,或向其他国家出口。

3、产品标准化阶段

　　在这一阶段,产品和技术均已标准化,厂商所拥有的技术垄断优势已消失,竞争主要集中在价格上。生产的相对优势已转移到技术水平低,工资低和劳动密集型经济 模式的地区。在本国市场已经趋于饱和,其他发达国家产品出口急剧增长的情况下,厂商在发展中国家进行直接投资,转让其标准化技术。根据比较成本的原则,厂商大规模减少或停止在本国生产该产品,转而从国外进口该产品。

未来基因技术的成熟还得依靠基因打靶技术的发展

    在2001年人类就已破解了人类基因图。人类就象上帝编的软件，人类基因图就好比软件中的一行行原代码。
    源代码已经读出来了，而且还发现了很多垃圾基因（源代码中的垃圾代码？）。
总共有两万多条基因，但是要读懂上帝给人类编的源码，理解每行代码所代表的意思，仍然任重道远。
    现在有一种基本的方法来理解源码，就是先把其中一行注释掉，看看有什么变化。这种技术就是基因打靶技术，其发明人70岁的美国科学家马里奥·卡佩奇，82岁的美国科学家奥立佛·史密斯与66岁的英国科学家马丁·埃文斯，凭借基因打靶技术共同分享了2007年度诺贝尔生理学或医学奖。因为他们发现了如何用基因控制老鼠胚胎细胞，评委会认为，是因为其“开创了全新的研究领域”，为人类攻克某些疾病提供了药物试验的动物模型。
        基因打靶的优点在于可以应用于任何基因，无需考虑其大小和转录活性。 

原理和方法

将外源DNA导入靶细胞后，利用基因重组，将外源DNA与靶细胞内染色体上同源DNA间进行重组，从而将外源DNA定点整合入靶细胞基因组上某一确定的位点。

对于不同的生物体，所使用的基因打靶的方法也不用。对于小鼠来说，大致的流程如下：

1. 从小鼠胚胎上提取干细胞；
2. 同时，构建靶载体，靶载体中含有与靶基因同源的DNA片段；
3. 将靶载体转染到干细胞中；
4. 将筛选后获得的含有靶载体的干细胞进行扩增；
5. 将含有靶载体的干细胞注入小鼠胚胎；
6. 胚胎发育为嵌合体小鼠（部分器官为该改造后的干细胞发育而成）后，通过选择性培育（将嵌合体小鼠与正常小鼠交配，在下一代中进行筛选），获得基因敲除小鼠（全部器官为该改造后的干细胞发育而成）。

修改后的方法还可用于其他哺乳动物，如牛、羊、猪等。

基因打靶技术还被用于一些植物，特别是小立碗藓的研究。

矩阵的迹（Tr）

    在线性代数中，一个${\displaystyle n\times n}$的矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的迹（或迹数），是指${\displaystyle \mathbf {A} }$的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和，一般记作${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )}$或${\displaystyle \operatorname {Sp} (\mathbf {A} )}$：

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} _{1,1}+\mathbf {A} _{2,2}+\cdots +\mathbf {A} _{n,n}}$

其中${\displaystyle \mathbf {A} _{i,j}}$代表矩阵的第i行j列上的元素的值。一个矩阵的迹是其特征值的总和（按代数重数计算）。

迹的英文为trace，是来自德文中的Spur这个单字（与英文中的Spoor是同源词），在数学中，通常简写为“Sp”或“tr”。

例子

设有矩阵：

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&5&1\\0&9&2\\7&6&4\end{bmatrix}}}$

它的迹是：

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\begin{bmatrix}3&5&1\\0&9&2\\7&6&4\end{bmatrix}}}$ = 3 + 9 + 4 = 16

性质

线性函数

给定一个环${\displaystyle \mathbb {R} }$，迹是一个从系数在环中的${\displaystyle n\times n}$矩阵的空间${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$射到环${\displaystyle \mathbb {R} }$之上的线性算子。也就是说，对于任两个${\displaystyle n\times n}$的矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$、${\displaystyle \mathbf {B} }$和标量${\displaystyle r}$，都有：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )+\mathrm {tr} (\mathbf {B} )}$

${\displaystyle \mathrm {tr} (r\cdot \mathbf {A} )=r\cdot \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}$

更进一步来说，当${\displaystyle \mathbb {R} }$是一个域时，迹数函数${\displaystyle \mathrm {tr} }$是${\displaystyle n\times n}$矩阵的空间${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$上的一个线性泛函。

由于一个矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的转置矩阵${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$的主对角线元素和原来矩阵的主对角线元素是一样的，所以任意一个矩阵和其转置矩阵都会有相同的迹：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{T}\right)}$

矩阵乘积的迹数

设A是一个${\displaystyle n\times m}$矩阵，B是个${\displaystyle m\times n}$矩阵，则：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )}$

其中${\displaystyle \mathbf {AB} }$是一个${\displaystyle n\times n}$矩阵，而${\displaystyle \mathbf {BA} }$是一个${\displaystyle m\times m}$矩阵。

上述的性质可以由矩阵乘法的定义证明：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {AB} )_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\mathbf {A} _{ij}\mathbf {B} _{ji}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{ji}\mathbf {A} _{ij}=\sum _{j=1}^{m}(\mathbf {BA} )_{jj}=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )}$

如果${\displaystyle \mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {B} }$都是${\displaystyle n\times n}$的方形矩阵，那么它们的乘积${\displaystyle \mathbf {AB} }$和${\displaystyle \mathbf {BA} }$也会是方形矩阵。因此，利用这个结果，可以推导出：计算若干个同样大小的方形矩阵的乘积的迹数时，可以循环改变乘积中方形矩阵相乘的顺序，而最终的结果不变。例如，有三个方形矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$、${\displaystyle \mathbf {B} }$和${\displaystyle \mathbf {C} }$，则：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )}$

但是要注意：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )\neq \mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )}$

更一般地，乘积中的矩阵不一定要是方形矩阵，只要某一个循环改变后的乘积依然存在，那么得到的迹数依然会和原来的迹数相同。

另外，如果${\displaystyle \mathbf {A} }$、${\displaystyle \mathbf {B} }$和${\displaystyle \mathbf {C} }$是同样大小的方阵而且还是对称矩阵的话，那么其乘积的迹数不只在循环置换下不会改变，而且在所有的置换下都不会改变：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CBA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BAC} )}$

迹数的相似不变性

迹数拥有相似不变性。如果矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {B} }$相似的话，它们会有相同的迹。这一性质可使上面讲过的循环性质来证明：

矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {B} }$相似也就是说存在可逆矩阵${\displaystyle \mathbf {P} }$，使得${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1}}$

因此${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1})=\mathrm {tr} (\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {P} \mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )}$

矩阵迹数和特征多项式

一个${\displaystyle n\times n}$的方形矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的特征多项式${\displaystyle P_{A}(\lambda )}$定义为${\displaystyle \mathbf {A} }$减去${\displaystyle \lambda }$倍的单位矩阵后所得到的矩阵的行列式：

${\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )}$

特征多项式是一个关于${\displaystyle \lambda }$的n次多项式，它的常数项是${\displaystyle \mathbf {A} }$的行列式的值，最高次项是${\displaystyle (-1)^{n}\lambda ^{n}}$，而接下来的n-1次项就是${\displaystyle (-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}}$，也就是说：

${\displaystyle P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}+\cdots +\det(\mathbf {A} )}$

矩阵迹数与特征值

当系数域是代数闭域时（否则可以将系数域扩展到其代数闭包上来看），特征多项式${\displaystyle P_{A}(\lambda )}$有n个根，它可以表达成：

${\displaystyle P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}(\lambda -r_{1})^{\alpha _{1}}(\lambda -r_{2})^{\alpha _{2}}\cdots (\lambda -r_{k})^{\alpha _{k}}}$

其中的${\displaystyle r_{1},r_{2}\cdots r_{k}}$是特征多项式的不同的根，而${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\cdots \alpha _{k}}$是这些根在特征多项式里的重数，称为代数重数。显然，所有代数重数加起来等于n。一方面，特征多项式的根就是矩阵的特征值，而另一方面，借由根与多项式系数的关系可以知道：特征多项式的所有的根加起来等于矩阵的迹数。所以矩阵的迹数是矩阵的所有特征值（按照代数重数计算）的和。

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\alpha _{1}r_{1}+\alpha _{2}r_{2}+\cdots +\alpha _{k}r_{k}}$

如果将矩阵写成它的若尔当标准型的话，也可以看出这一点，因为若尔当标准型的特征多项式的所有的根（包括重根）就是对角线上的所有元素。

如果不区分相同或不同的特征值的话，上述关系也可以写成：

${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}$

其中的${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}}$是矩阵的特征值。 而且有：

${\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ,\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{m})=\lambda _{1}^{m}+\lambda _{2}^{m}+\cdots +\lambda _{n}^{m}}$

线性映射的迹数

设系数域为${\displaystyle \mathbb {K} }$的${\displaystyle \mathbb {V} }$是一个有限维的向量空间，维数是n。给定任一线性映射${\displaystyle f:\mathbb {V} \rightarrow \mathbb {V} }$，可以定义此一映射的迹数为其变换矩阵的迹，即选定${\displaystyle \mathbb {V} }$的一个基底并用对应于此基底的一个方形矩阵描述${\displaystyle f}$，再定义这个方形矩阵的迹数为${\displaystyle f}$的迹数。这个定义下${\displaystyle f}$的迹数和所选取的基无关：只需要注意到不同的基底的选取实际上等价于对变换矩阵做一次相似变换，而两个相似的矩阵的迹数是一样的。因此这样的定义是自洽的。

另外一种定义涉及到行列式的性质。考虑${\displaystyle \mathbb {V} }$的一个基底${\displaystyle {\mathcal {B}}=(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}$，以及函数：

${\displaystyle Sp:\;\;\;\quad \mathbb {V} ^{n}\qquad \;\quad \longrightarrow \quad \qquad \qquad \qquad \mathbb {K} \qquad \qquad \qquad ,}$ ${\displaystyle Sp:(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}\det(x_{1},x_{2},\cdots ,f(x_{i}),\cdots ,x_{n})}$

根据行列式理论，这个函数也是一个行列式型的函数，也就是说存在一个只取决于${\displaystyle f}$的量${\displaystyle \mathrm {Sp} (f)}$，使得

${\displaystyle Sp(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\mathrm {Sp} (f)\cdot \det(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$

可以证明，这个纯量${\displaystyle \mathrm {Sp} (f)}$就等于之前定义的${\displaystyle f}$的迹数。

迹的梯度

由迹的定义可知迹可以看作是矩阵的实标量函数，所以我们可以通过求实标量函数的梯度来求迹的梯度。

单个矩阵

• A是m×m矩阵时，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}={\mathbf {I} }_{m}}$
• m×m矩阵A可逆时，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-2})^{T}}$
• 对于两个向量x和y的外积，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {xy}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {yx}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\boldsymbol {y}}}$

两个矩阵

• 若A为m×n矩阵，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} }$
• 若A为m×m矩阵，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{2})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} ^{T}}$

• 若A为m×n矩阵，B是m×n矩阵，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} }$
• 若A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} ^{T}}$
• 当A和B均为对称矩阵时，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} +\mathbf {B} ^{T}-diag(\mathbf {B} )}$

• 若A和B都是m×m矩阵，并且B是非奇异矩阵，有${\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} ^{-1})^{T}}$